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Autor Tópico: [GUIA] Matemática  (Lida 1502 vezes)

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Offline vicardosof

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[GUIA] Matemática
« em: 26 de Abril de 2011, 04:10 »
Boas!
Estou a criar esse guia para uma série de tópicos que irei criar sobre como usar tensão alternada. Sei que não é muito comum na robótica, mas conhecimento nunca é em excesso.

Este tópico será sobre números complexos, fundamental para os cálculos em tensão alternada.

Início
Estudamos que os números são classificados em vários grupos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais...
Geralmente, fazemos cálculos na matemática usando somente o grupo dos reais, mas ele nem sempre é o melhor a ser usado.
Antes de explicar seu uso em electrónica, precisamos de sua definição. O grupo dos complexos engloba os reais e os números imaginários. Os números imaginários não existem como quantidade, mas como referência. Para isso, precisamos de uma definição clara:
Um número complexo (Z) é representado na forma a + bi, onde a representa a parte real e bi a parte imaginária.
a e b são coeficientes e i tem o valor da raiz quadrada de -1.

A partir disso temos essas igualdades:
5 = 5 + 0i
raiz de -1 = 0 + i
0 = 0 + 0i
raiz de -16 = 0 + 4i
etc

Os números complexos não podem ser representados na reta real. Para isso existe o plano complexo. O plano complexo é um plano cartesiano onde o eixo das abcissas representa a parte real e o eixo das ordenadas a parte imaginária. O número complexo será o ponto dessas coordenadas. Acompanhe a figura:


O módulo de um número complexo é o segmento de recta entre a origem e o ponto que representa o número. Esse módulo é facilmente calculado com o uso do teorema de Pitágoras.
|Z| = Sqr(a^2 + b^2)

Forma polar:
Para alguns cálculos e representação mais fácil, existe uma outra forma de representar um número complexo. A forma polar.
Nessa forma, é colocado o módulo do número seguido do ângulo, chamado de argumento, entre o módulo e o eixo das abcissas.
Para calcular o argumento, existem duas formas.
A primeira é prática, mas não universal. Na electrónica é a mais usada, já que nos casos em que ela não pode ser usada são incomuns no ramo.
Para calcular o argumento, devemos calcular a arco tangente de b/a. Esse cálculo é de fácil observação, considerando o triângulo formado.
No exemplo, o ângulo é arctg de 3/7, que é 23,19.
O módulo vale sqr(9 + 49) = 7,61
Em representação temos:
7,61(cos 23,19 + i sen 23,19)
Para não escrevermos cos + isen, existe a abreviação cis.
Assim, o número é representado em forma polar como 7,61 cis 23,19

Operações matemáticas:
Em forma retangular (a + bi) todas as operações são realizadas como se o número fosse um binómio.
Exemplo:
(3 - 2i) + (5 + 3i) = 8 + i
(3 - 2i)(5 + 3i) = 15 + 9i - 10i + 6 = 21 - i (Note que i^2 = -1)
Obs: Na divisão, temos de usar produtos notáveis. O caso de (A + B) (A - B) = A^2 - B^2. Então, multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo é obtido invertendo o sinal do meio (ex: conjugado de 2 + 3i = 2 - 3i)
(3 - 2i) / (5 + 3i) = (3 - 2i) (5 - 3i) / (25 + 9) = (15 - 9i - 10i - 6) / 34 = (9 - 19i) / 34

Na forma polar, as operações de adição e subtração não são viáveis. Para esses casos, convertemos para a forma retangular.
Multiplicação:
(a cis X) (b cis Y) = (ab cis (X + Y))
(8 cis 2) (3 cis 20) = 24 cis 22
Divisão:
(a cis X)/(b cis Y) = ((a/b) cis (X - Y))
(8 cis 20) (4 cis 10) = 2 cis 10

Potenciação:
(a cis X) ^b = ((a^b) cis (Xb))
(3 cis 45) ^2 = 9 cis 90

Radiciação:
SqrN(a cis X) = (sqrN(a) cis (X / N))
Raiz cúbica de 27 cis 90 = 3 cis 30

Obs: Em electrónica, em vez de usarmos a letra i para representar a parte imaginária, usamos j. A troca evita a confusão de i como corrente)

Coisas importantes:
1) Cis 90º = i
2) Fazer um giro de x graus no módulo, multiplicamos o complexo por cis x
3) Com o conjunto complexo, o número de raízes de uma equação será igual ao maior expoente, e todas as raízes poderão ser encontradas. Os afixos (pontos no plano complexo) de cada raiz serão pontos de um polígono regular de número de lados igual ao grau da equação.

Dúvidas e sugestões, favor postar.